\documentclass[a4paper]{book} 
\usepackage[english,hebrew]{babel} 
 
% This command makes sure we have reasonable margins. 
\usepackage[]{fullpage} 
 
\usepackage[dvips]{graphicx} 
 
\usepackage{multido} 
 
\usepackage{amsmath} 
 
\usepackage{ulem} 
 
\setlength\parskip{\medskipamount} 
 
\setlength\parindent{0pt} 
 
\begin{document} 
 
\sethebrew 
{ \Huge  תרמודינמיקה ופיסיקה סטטיסטית \\ 
 סיכום החומר} 
 
{\LARGE  מאת: \\ 
 
שלומי פיש 
} 
 
\chapter{מערכות מרובות חלקיקים} 
 
הקורס דן במערכות עם מספר רב של חלקיקים. או ליתר דיוק דרגות חופש. 
 
\begin{itemize} 
\item 
תנע לא יעניין 
\item 
אנרגיה ועבודה כן יעניינו. 
\item 
אנטרופיה - מידע 
\item 
אנרגיה חופשית 
\item 
טמפרטורה 
\item 
לחץ 
\end{itemize} 
 
חלקיק יכול להיות בהרבה מצבים קוואנטיים. לכל מצב יש {\bf  אנרגיה}. 
 
דוגמא: חלקיק בקופסא תלת-מימדית )$L \times L \times L$(. המצבים הקוואנטיים נקבעים 
על-ידי 3 מספרים )$ \overrightarrow{n}=\left(n_x,n_y,n_z\right) $(. אם כך האנרגיה  
של החלקיק היא: 
 
\unsethebrew 
 
\newcommand{\myNsq}[1]{n_{#1}^{2}} 
\newcommand{\myHbarTwoM}[0]{\frac{\hbar}{2m}} 
\begin{eqnarray*} 
& & \epsilon_R = \myHbarTwoM\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\left(\myNsq{x}+\myNsq{y}+\myNsq{z}\right) 
\end{eqnarray*} 
 
\sethebrew 
 
לאנרגיה נתונה שייכים יותר ממצב קוואנטי אחד. בכך יש ניוון )\L{Degeneracy}(. 
 
\section{פונקציית ניוון} 
 
פונקציית ניוון - $ g(t)$ - מספר המצבים עם אנרגיה $t$. 
 
לדוגמא: שלוש דרגות חופש: 
 
\unsethebrew 
 
\begin{eqnarray*} 
& & \epsilon_0 = \myHbarTwoM\left(\frac{\pi}{L}\right)^2 
\end{eqnarray*} 
 
\begin{tabular}{lll} 
$\epsilon_0$ & $g$ & $(n_x,n_y,n_z)$ \\ 
\hline 
3 & 1 & (1,1,1) \\ 
6 & 3 & (2,1,1) \\ 
17 & 3 & (3,2,2) \\ 
\end{tabular} 
 
\sethebrew 
 
עבור מספר חלקיקים גדול עם אנרגיות גבוהות, מספר המצבים האפשריים גדל מהר. 
 
\chapter{מודל בינארי} 
 
ציר או קו שעליו נקבעים ספינים. ספין $ \frac{1}{2}$ מצביע למעלה )עם ערך 1( או למטה 
)עם ערך $-1$(. $ \uparrow$ או $ \downarrow $. 
 
לכל ספין מומנט מגנטי $ \mu$. 
 
מיקרו מצב של המודל הוא ספציפיקציה של \L{N} שורות, בכל שורה $ \uparrow$ או $\downarrow$  
)בהתאם למצב הספין(. 
 
\unsethebrew 
 
$ N = 3 $ 
 
\begin{tabular}{llll} 
$ \uparrow\uparrow\uparrow $ & $ \uparrow\uparrow\downarrow $ & $ \downarrow\downarrow\uparrow$ & $\downarrow\downarrow\downarrow $ \\ 
$ \times 1 $ & $ \times 3 $ & $ \times 3 $ & $ \times 1 $ \\ 
$ 3\mu $ & $ \mu $ & $ -\mu $ & $ -3\mu $ \\ 
\end{tabular} 
 
$ M = \sum\limits_{n=1}^{N}\mu_n $ 
 
\sethebrew 
 
במערכת כזאת האנרגיה פרופורציונית למגנטיזציה. 
 
\section{ערכים אפשריים של \L{M}:} 
 
$ M = N\mu, (N-2)\mu, (N-4)\mu... -(N-2)\mu, -N\mu$ 
 
בסה"כ יש $ N+1$ ערכים אפשריים של המגנטיזציה. 
 
יש $ 2^N$ מיקרומצבים. 
 
$ N_{+}$ - מספר הספינים למעלה. 
 
$ N_{-}$ - מספר הספינים למטה. 
 
\unsethebrew 
 
$ 2m = N_{+} - N_{-} $ 
 
$ N_{+} + N_{-} = N $ 
 
\sethebrew 
 
\section{שאלה} 
 
כמה מיקרו מצבים יש עם $ N_{+} = \frac{N}{2}+m$ ספינים למעלה ו- $ N_{-} = \frac{N}{2}+m$ ספינים למטה. 
 
\unsethebrew 
 
\newcommand{\spinBinom}[1]{\left(\uparrow+\downarrow\right)_{#1}} 
\newcommand{\perm}[2]{\left(\begin{array}{c}#1 \\ #2\end{array}\right)} 
 
\begin{eqnarray*} 
& & \spinBinom{1}\spinBinom{2}\spinBinom{3} ... \spinBinom{N} \\ 
& & \spinBinom{}^3 = \uparrow^3+3\uparrow^2\downarrow+3\uparrow\downarrow^2+\downarrow^3 
\end{eqnarray*} 
 
\sethebrew 
 
דומה למשפט הבינומיאלי: 
 
\unsethebrew 
 
\begin{eqnarray*} 
(a+b)^N & = & \sum\limits_{l=1}^{N}\binom{M}{l}a^kb^{N-l} \\ 
\binom{N}{l} & = & \frac{N!}{(N-l)!(l)!} \\ 
(a+b)^N & = & \sum\limits_{m=-\frac{N}{2}}^{N/2}\frac{N!}{\left(\frac{N}{2}+m\right)!\left(\frac{N}{2}-m\right)!}a^{\frac{N}{2}+m}b^{\frac{N}{2}-m} \\ 
(\uparrow+\downarrow)^N & = & \sum\limits_{m=-\frac{N}{2}}^{N/2}\frac{N!}{\left(\frac{N}{2}+m\right)!\left(\frac{N}{2}-m\right)!}\uparrow^{\frac{N}{2}+m}\downarrow^{\frac{N}{2}-m} \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
המקדם $  \binom{N}{\frac{N}{2}+m}$ הוא מספר המיקרו-מצבים עם: 
 
$ N_{+} = \frac{N}{2}+m $ ספינים למעלה. 
 
$  N_{-} = \frac{N}{2}-m$ ספינים למטה. 
 
\unsethebrew 
 
$ M = 2m\mu $ 
 
\sethebrew 
 
$ g(N,m) = \binom{N}{\frac{N}{2}+m}$ = פונקציית הניוון. 
 
$ M = \mu\left(N_{+}-N_{-}\right)$ 
 
\begin{tabular}{|r|} 
\hline 
\R{ 
הנחה: כל מיקרו-מצב מתקבל באותה הסתברות.} 
 \\ 
\hline 
\end{tabular} 
 
זאת הנחת היסוד של המכניקה הסטטיסטית. 
 
\section{ממוצעים} 
 
ממוצע של \L{M}: $ \langle M \rangle$: 
 
\unsethebrew 
 
\begin{eqnarray*} 
& & \langle M \rangle = \sum\limits_{Microstates \gamma}P_{\gamma} M_{\gamma} \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
אם $ P_{\gamma}$ קבוע אז $ P_{\gamma} = \frac{1}{2M}$ 
 
\unsethebrew 
 
\begin{eqnarray*} 
& & \langle M \rangle = \sum\limits_{\gamma}\frac{1}{2M}M_{\gamma} = \frac{1}{2M}\sum\limits_{s=1}^{N}\mu_s = 0 \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
מטעמי סימטריה לכל מיקרו מצב יש מצב נגדי. 
 
\unsethebrew 
 
\newcommand{\mean}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} 
 
\begin{eqnarray*} 
\langle M^2 \rangle & = & \left\langle \sum\limits_{s=1}^{N}\mu_s \sum\limits_{r=1}{N}\mu_r \right\rangle = \\ 
& = & \sum\limits_s\sum\limits_r\left\langle\mu_s\mu_r\right\rangle = \\ 
& & r \neq s ~~~ \mean{\mu_s\mu_r} = 0 \\ 
& & r = s ~~~ \mean{\mu_s^2} = \mu_0 \\ 
& = & N\mu_0^2 \\ 
\\ 
\\ 
\sqrt{\mean{X^2}} & = & \sqrt{N}\mu_0~~~~ \mbox{RMS = Root Mean Square} \\ 
g(N,m) & = & \dfrac{N!}{\left(\frac{N}{2}+m\right)!\left(\frac{N}{2}-m\right)!} \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
טענה: ההתפלגות הזאת חדה מאוד תחת ההנחות: 
 
$ N \gg 1 ~~~~ N \gg m \gg 1$ 
 
\unsethebrew 
 
Stirling Approximation: 
 
\begin{eqnarray*} 
\ln N! = N\ln N - N + \frac{1}{2}\ln N + \frac{1}{2}ln2\pi 
\end{eqnarray*} 
 
\sethebrew 
 
\section{אינטגרלים גאוסיים} 
 
\unsethebrew 
 
\begin{eqnarray*} 
& & I = \int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx \\ 
& & I^2 = \int\int e^{-\left(x^2+y^2\right)}dxdy ~~~~ r^2=x^2+y^2 \\ 
& & dxdy = rdrd\phi \\ 
& & I^2 = \int\limits_{0}^{2\pi}d\phi\int_0^{\infty}rdre^{-r^2}=\pi \\ 
& & I = \sqrt{\pi} ~~~~ \int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \\ 
& & \int\limits_{-\infty}^{\infty}x^ne^{-\alpha x^2}dx \\ 
& & \Gamma(n+1) = \int\limits_{0}^{\infty}y^ne^{-y}dy \\ 
& & \Gamma(n+1) = n\Gamma(n) ~~~~ Gamma(1)=1 \\ 
& & \Gamma(n+1) = \int\limits_0^{\infty}e^{n\ln y - y}dy \\ 
& & f(y) = n\ln y - y \\ 
& & f'(y) = \frac{n}{y}-1 \\ 
& & f'(n) = 0 \longrightarrow y^{max}=n \\ 
& & f\left(y^max\right) = n\ln n - n \\ 
& & f(y) = n\ln n - n - \frac{1}{2n}(y-n)^2 \\ 
& & \Gamma(n+1) \approx e^{n\ln n - n}\int\limits_0^{\infty}e^{-\frac{1}{2n}(y-n)^2}dy \\ 
& & e^{n\ln n - n}\int\limits_{-n}^{\infty}e^{-\frac{n^2}{2n}}dn \\ 
\end{eqnarray*} 
 
\sethebrew 
 
עבור $n \gg 1$ ניתן לקרב את הגבול התחתון ע"י $ -\infty$. 
 
\unsethebrew 
\begin{eqnarray*} 
& & e^{n\ln n-n}+\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^-{\frac{n^2}{4n}}dn =  
e^{n\ln n -n}\sqrt{2n\pi} \\ 
& & \ln n! = n\ln(n)-n+\frac{1}{2}\ln(n) + \frac{1}{2}\ln({2\pi}) \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
\section{בחזרה לפיתוח של פונקציית הניוון} 
 
\unsethebrew 
 
\newcommand{\parens}[1]{\left(#1\right)} 
\newcommand{\halfN}{\frac{N}{2}} 
\newcommand{\hNpm}{\halfN+m} 
\newcommand{\hNmm}{\halfN-m} 
\newcommand{\tmN}{\frac{2m}{N}} 
\newcommand{\osomething}[2]{\parens{1 #1 #2}} 
\newcommand{\otmN}[1]{\osomething{#1}{\tmN}} 
\newcommand{\ox}[1]{\osomething{#1}{x}} 
\newcommand{\exprone}[1]{\parens{\halfN}\otmN{#1}\ln\left[\parens{\halfN}\otmN{#1}\right]} 
\newcommand{\exprtwo}[1]{\parens{\halfN}\ox{#1}\ln\left[\parens{\halfN}\ox{#1}\right]} 
\newcommand{\exprthree}[1]{\halfN\ox{#1}\ln\ox{#1}} 
\begin{eqnarray*} 
& & \ln g(N,m) \approx N\ln N - N - \parens{\hNpm}\ln\parens{\hNpm} + \parens{\hNpm} -  
\parens{\hNmm}\ln\parens{\hNmm} + \parens{\hNmm} = \\ 
& & N\ln N - \parens{\hNpm}\ln\parens{\hNpm}  -  
\parens{\hNmm}\ln\parens{\hNmm} = \\ 
& & N\ln N - \exprone{+} - \exprone{-} \\ 
& & x = \tmN \\ 
& = & N\ln N + \exprtwo{+} - \exprtwo{-} = \\ 
& & N\ln N - \halfN\ox{+}\ln\halfN-\halfN\ox{-}\ln\halfN -\halfN\ox{+}\ln\ox{+}- 
\halfN\ox{-}\ln\ox{-} = \\ 
& & N \ln N - N \ln\parens{\halfN} - \exprthree{+} - \exprthree{-} \\ 
& & \ln\ox{+} \approx x - \frac{x^2}{2} \\ 
& = & N\ln2 - \halfN\ox{+}\parens{x-\frac{x^2}{2}} - \halfN\ox{-}\parens{-x-\frac{x^2}{2}} \\ 
& & N\ln2 - \halfN x^2 + \frac{N}{4}x^4-\frac{N}{2}x^2 + \frac{N}{4}x^2 = \\ 
& & N\ln2 - \halfN X^2 \\ 
& & \\ 
& & g(N,m) \approx 2^N + e^{-\frac{2m^2}{N}} \\ 
\end{eqnarray*} 
 
\sethebrew 
 
מקסימום עבור $ m = 0$ ובקירוב טוב כאשר $ \frac{m}{N} \ll 1$. 
 
\unsethebrew 
 
\begin{eqnarray*} 
g(N,m_0) & = & \frac{1}{e}2^N \\ 
2^{N}e^{-\frac{2m_0^2}{N}} \\ 
& & \frac{2m_0^2}{N} = 1 \Longrightarrow m_{0}^2 = N \Rightarrow m_0 = N \\ 
& & N = 10^{22} \Rightarrow m_0 = 10^{11} \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
\section{ההיפוטזה הארגודית} 
 
\unsethebrew 
\begin{eqnarray*} 
& & \mean{f} = \sum\limits_m p(m)f(m) \\ 
& & \sum\limits_m p(m)=1 ~~~~ \textnormal{\R{)נרמול(}} \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
אנו מניחים שיש לנו מספר מערכות כמספר מיקרומצבים. ואז אנו מסכמים את ערך התכונה על כל  
המערכות.  
 
רק במצב של שיווי-משקל יש בסיס להגיד שממוצע על מספר רב של מערכות שונות שווה לממוצע על  
מערכת אחת בזמנים שונים. 
 
ממוצע על צבר 
 
צבר = רשימת כל המיקרו-מצבים \L{m} עם הסיכוי $ P(m)$ למצוא אותם. 
 
בדוגמא שלנו $ P(m)$ קבוע ושווה ל-$ 2^{\frac{1}{N}}$. 
 
אם לכל מיקרו-מצב $m$ יש את אותו סיכוי להימצא, הצבר נקרא 
 \underline{\R{הצבר המיקרוקאנוני}}. )\L{Microcanonical Ensemble}( 
  
עבור הפילוג הבינומיאלי: 
 
\unsethebrew 
\begin{eqnarray*} 
& & P\parens{N,m} = g\parens{N,m}\cdot \frac{1}{2^N} \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
עבור הפילוג הגאוסי: 
 
\unsethebrew 
 
\newcommand{\Pnm}{P\parens{n,m}} 
\newcommand{\emsn}{e^{-\frac{2m^2}{N}}} 
\newcommand{\sftpn}{\sqrt{\frac{2}{\pi N}}} 
 
\begin{eqnarray*} 
& & \Pnm = A\emsn \\ 
& & \int\limits_{-N}^{N}\Pnm dm \approx \int\limits_{-\infty}^{\infty}\Pnm dm = 1  
\Rightarrow A = \sftpn \\ 
& & \Pnm = \sftpn\emsn \\ 
& & \mean{m} = \int\limits_{-\infty}^{\infty}m\sftpn\emsn dm = 0 \\ 
& & \mean{m^2} = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\sftpn\emsn dm = \frac{N}{4} \\ 
\end{eqnarray*} 
 
\sethebrew 
 
\chapter{אנטרופיה וטמפרטורה \L{(Entropy and Temperature)}} 
 
\section{ההנחה היסודית של המכניקה הסטטיסטית} 
 
 
\frame{\R{למערכת סגורה יש את אותו סיכוי להימצא בכל אחד מהמיקרו-מצבים האפשריים}}. 
 
\underline{\R{מערכת סגורה}} 
 
מערכת עם אנרגיה קבועה, מספר רכיבים קבוע, נפח קבוע. 
 
עם ערכים קבועים של כל אחד מן הפרמטרים החיצוניים שמשפיעים על המערכת 
)שדות חשמליים, מגנטיים, גרביטציוניים...( 
 
\underline{\R{מיקרו מצב אפשרי}} 
 
מיקרו-מצב שהוא קונסיסטנטי עם הערכים הקבועים של הפרמטרים החיצוניים. 
 
יש שתי מערכות סגורות: 
 
\unsethebrew 
 
\includegraphics[scale=0.75]{Images/two_closed_systems} 
 
\sethebrew 
 
נצמיד את שתי המערכות ונאפשר מעבר אנרגיה ביניהן )אבל לא מעבר חלקיקים(: 
 
\unsethebrew 
 
\includegraphics[scale=0.75]{Images/two_joined_systems} 
 
$ E_{tot} = E_1 + E_2 $ 
 
\sethebrew 
 
אחרי מספיק זמן יש חלוקה חדשה של האנרגיה: $ E_1', E_2'$ כאשר $ E_1' + E_2' = E_{tot}$  
והחלוקה הזאת לא משתנה יותר. 
 
\underline{\R{שאלה}}: מה קורה? לאיזה כיוון תזרום האנרגיה? 
 
נחפש את החלוקה הסבירה ביותר )עם הסבירות הגדולה ביותר להימצא(. זה קורה כאשר למערכת 
המשולבת, יש הכי הרבה מיקרו מצבים. 
 
לפני ההצמדה, למערכת $ S_1$ יש $ g_1\parens{E_1,N_1}$ מיקרו-מצבים. \\ 
לפני ההצמדה, למערכת $ S_2$ ייש $ g_2\parens{E_2,N_2}$ מיקרו-מצבים. 
 
כמה מיקרו-מצבים יש ל-$S_1+S_2$ )כאשר עדיין אין מגע( 
 
$ g\parens{N_1,N_2,E_1,E_2} = g_1\parens{E_1,N_1}g_2\parens{E_2,N_2}$ 
 
)במגנטיזציה עם $ m_i$ במקום $ E_i$( 
 
אחרי ההצמדה ומעבר אנרגיה: 
 
$ g\parens{N_1,N_2,E_{tot}} = \sum\limits_{E_1}g_1\parens{E_1,N_1}g_2{E_2=E_{tot}-E_1,N2}$ 
 
זהו סכום על חלוקות אנרגיה. 
 
\underline{\R{טענה}}: עבור מערכות גדולות, הפונקציה $ g=g_1g_2$ תהיה מאוד חדה. 
 
המקסימום מתקבל ב-$ \hat{m_1}$ 
 
תוצאה: \uuline{\R{תמיד}} נמדוד את הערך $ \hat{m_1}$. 
 
\unsethebrew 
 
\begin{eqnarray*} 
& & \mean{m_1} = \hat{m_1} \\ 
& & \sum g_1\parens{N_1,m_1}g_2\parens{N_2,m_2} \approx g_1\parens{N_1,\hat{m_1}} 
g_2\parens{N_2,\hat{m_1}} \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
החלוקה הסבירה ביותר = מצב של שיווי משקל תרמו-דינמי. 
 
איך למצוא את $ \hat{m_1}$? 
 
\unsethebrew 
 
\newcommand{\partDeriv}[3]{\parens{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}_{#3}} 
\begin{eqnarray*} 
& & g = g_1\parens{N_1,m_1}g_2\parens{N_2,m_2=m-m_1} \\ 
& & dg = 0 \\ 
& & dg = 0 \Rightarrow \partDeriv{g_1}{E_1}{N_1}g_2 dE_1 +  
\partDeriv{g_2}{E_2}{N_2}g_1 dE_2 = 0 \\ 
& & dE_1 + dE_2 = 0 \\ 
& & \Downarrow \\ 
& & \frac{1}{g_1}\partDeriv{g_1}{E_1}{N}dE_1+\frac{1}{g_2}\partDeriv{g_2}{E_2}dE_2 = 0 \\ 
& & \partDeriv{\ln g_1}{E_1}{N_1} = \partDeriv{\ln g_2}{E_2}{N_2} \Rightarrow  
\textnormal{\R{תנאי לשיווי משקל תרמודינמי}} \\ 
\end{eqnarray*} 
 
\sethebrew  
 
מגע תרמי: מאפשר מעבר אנרגיה 
 
\unsethebrew 
\begin{eqnarray*} 
& & g\parens{N_1,N_2,E_1,E_2=E_{tot}-E_1} = \\ 
& & \sum\limits_{E-1} g_1\parens{N_1,E_1}g_2(N_2,E_{tot}-E_1) \approx \\ 
& & g_1(N_1,\hat{E_1})g_2(N_2,\hat{E_2}) + \textnormal{\R{טעות מזערית}} \\ 
\vspace{5pt} \\ 
& & dg = 0 \\ 
& & \partDeriv{\ln g_1}{E_1}{N_1} = \partDeriv{\ln g_2}{E_2}{N_2} \\ 
& & E_1 + E_2 = E_{tot} \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
שיווי משקל תרמודינמי = המצב של החלקוה הסבירה ביותר. 
 
\section{אנטרופיה} 
 
$ S = k\ln g$ )רשום על המצבה של בולצמן( 
 
קבוע בולצמן: $ k = 1.381 \cdot 10^{-23} \frac{J}{\deg K}$. 
 
$ S = S(N,E,V)$ 
 
עבור שתי מערכות סגורות: 
 
$ g = g_1 \cdot g_2$  
 
$ S = S_1 + S_2$ )\L{Additivity}( 
 
לאחר ההצמדה, המערכת מגיעה לחלוקה הסבירה ביותר )שיווי-משקל תרמודינמי(. 
 
\unsethebrew 
\begin{eqnarray*} 
& & g\parens{\hat{E_1}, E_{tot}-\hat{E_1}} = g_1(\hat{E_1})g_2(E_tot-\hat{E_1}) \\ 
& & S_f = S_1(\hat{E_1})+S_2(E_tot-\hat{E_1}) \\ 
& & g_{\textnormal{after}} \geq g_{\textnormal{before}} \\ 
& & \frame{$ S_{\textnormal{after}} \geq s_{\textnormal{before}} $} ~~~~ \textnormal{\R{החוק השני של התרמודינמיקה}} 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
כאשר מוסיפים אילוץ על מערכת, האנטרופיה גדלה. התנאי לשיווי משקל תרמו-דינמי במגע תרמי: 
 
$ \partDeriv{S_1}{E_1}{N_1} = \partDeriv{S_2}{E_2}{N_2}$. 
 
\underline{הגדרה:} הטמפרטורה \L{T}: 
 
\unsethebrew 
\frame{$\frac{1}{T} = \partDeriv{S}{E}{N,V}$} 
 
\sethebrew 
 
$ T_1 = T_2$. 
 
האם אנרגיה זורמת ממערכת חמה למערכת קרה? 
 
)על-פי ההגדרה של \L{T}( 
 
יש שתי מערכות 1 ו-2 כאשר $ T_1 > T_2$. מצמידים אותן לזמן קצר ואז מנתקים את המגע. 
 
הנחה: אנרגיה עוברת מ-$S_1$ ל-$S_2$. אפשר להגיד ש-$\dfrac{\delta u}{E_1} \ll 1$. 
 
\unsethebrew 
\begin{eqnarray*} 
E_1^0+E_2^0 = E_{tot} \\ 
E_1^F+E_2^F = E_{tot} \\ 
S^0 = S_1^0+S_2^0 \\ 
S^F = S_1^F+S_2^F \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
שאלה: מהו השינוי באנטרופיה? 
 
\unsethebrew 
 
\begin{eqnarray*} 
S^F-S^0 & = & \delta S \\ 
\delta S & = & \partDeriv{S_1}{E_1}{N_1}\parens{-\delta u} + \partDeriv{S_2}{E_2}{N_2}\parens{\delta u} \\ 
\delta S & = & \dfrac{1}{T_1}(-\delta u) + \dfrac{1}{T_2}(\delta u) =  
\parens{\dfrac{1}{T_2} - \dfrac{1}{T_1}}\parens{\delta u} 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
עבור $ T_1 > T_2$ מתקיים $ \delta s > 0$. 
 
\subsection{אדיטיביות של האנטרופיה} 
 
\unsethebrew 
 
\begin{eqnarray*} 
g &=& \sum\limits_{U1}g_1(U_1)g_2(U_2-U_1)\\ 
S &=& k\ln\parens{\sum\limits_{U1}g_1g_2} \\ 
S &=& k\ln\left[g_1(\hat{U_1})g_2(\hat{U_2}\right] = S_1+S_2 \\ 
U & = & -MB = 2mB \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
מהי הטעות אם מחליפים את $ \sum g_1g_2$ ב-$\hat{g_1}\hat{g_2}$? 
 
\unsethebrew 
 
\begin{eqnarray*} 
& & g_1(N_1,m_1)\cdot g_2(N_2,m_2) = g_1(N_1,m_1)g_2(N_2,|m|e^{-\parens{\dfrac{2m_1^2}{N_1}+\dfrac{2m_2^2}{N_2}}} \\ 
m_1 + m_2 &=& m \\ 
N_1 &=& \dfrac{N}{2} = N_2 \\ 
\hat{m_1} &=& \hat{m_2} = \dfrac{m_{tot}}{2} ~~~~ \textnormal{\R{מקסימום של \L{g}}} \\ 
& & g(N,m_1,m_2=m_{tot}-m_1) = \\ 
& & \sum\limits_{\delta m}\parens{N_1,\hat{m_1}+\delta m} 
g_2\parens{N_2,\hat{m_2}-\delta m} \\ 
& & g_1(m=\hat{m_1})g_2(m=\hat{m_2}) \cdot  
\int\limits_{-\infty}^{\infty}d(\delta m)e^{-\dfrac{d(\delta m)^2}{M}} = \\ 
& & (g_1,g_2)\max \sqrt{\dfrac{N\pi}{8}} \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
התיקון מזערי: 
 
$ S = S_1 + S_2 + o(\ln N)$. 
 
\subsection{מידע )\L{Information}(} 
 
מסר: כמה אינפורציה יש במסר הזה? 
 
על-פי \L{C. Shannon}: 
 
\unsethebrew 
\begin{eqnarray*} 
I & = & log_2\left(\dfrac{\textnormal{Prob. of event after message}} 
{\textnormal{Prob. of event before message}}\right) \\ 
p_{\textnormal{after}} & = & 1 ~~~~(\textnormal{\R{אם אין רעש}}) \\ 
I &=& -\log\left(\textnormal{(Prob. before message)}\right) \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
בהנחה שמבשרים על מינו של נולד: $ I=-\log_2(\frac{1}{2}) = 1bit$ 
 
\subsubsection{דוגמא} 
 
יש שדה בין $ 8*8$ משבצות. יש חפץ באחת המשבצות ויש לדווח באיזה משבצת הוא נמצא: 
 
$ I = I_{R} + I_{C} = 6$ )עבור \L{R} - השורה ו-\L{C} - העמודה( 
 
\subsection{דוגמא 2} 
 
יש שני חדרים. בחדר אחד אדם מוציא את אחת האותיות של האלפבית הלטיני )\L{A..Z}(. מהי 
האינפורציה אם נמסר שהאות היא \L{D}. 
 
$ P_{D}~~~~I=-\log P_{D}$. 
 
סה"כ האינפורציה לשליפת אות מס' $\alpha$: $ -NP_{\alpha}\log P_{\alpha}$. 
 
סה"כ אינפורציה בכל \L{N} שליפות: 
 
$I_{tot} = -\sum NP_{\alpha}\log P_{\alpha} = -N\sum\limits_{\alpha}P_{\alpha}\log P_{\alpha}$ 
 
 
אינפורציה ממוצעת לשליפה: 
 
$-\sum P_{\alpha}\log P_{\alpha}$ 
 
מילה בת \L{r} אותיות. יש \L{s} אותיות שונות שניתן לבחור מהן. 
 
למילה יש:  
 
\begin{itemize} 
\item $N_1$ אותיות מסוג 1 
\item $N_2$ אותיות מסוג 2 
. \\ 
. \\ 
. \\ 
\item  $ N_s$ אותיות מסוג $s$. 
\end{itemize} 
 
$ \sum\limits_{l=1}Nl = r$. 
 
מס' המילים שניתן להרכיב: 
 
$ g = \dfrac{r!}{N_1!N_2!N_3!...N_s!}$ 
 
אם המילה מספיק ארוכה: 
 
\unsethebrew 
\begin{eqnarray*} 
N_l &=& rP_l \\ 
l &=& 1,2,3..s \\ 
\textnormal{\R{בקירוב סטירלינג}} 
\log g &\approx& r\sum P_j\log P_k-\parens{\dfrac{s-1}{2}}\log 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
)הכתב שלי לא ברור כאן - להשלים את החסר( 
 
\section{מגע תרמו-דיפוסיבי} 
 
מגע תרמי - שתי מערכות שיכולות להעביר ביניהן אנרגיה. התנאי לשיווי משקל במקרה כזה הוא: 
$T_1 = T_2$. 
 
מגע תרמו-דיפוסיבי: אנרגיה וחלקיקים עוברים בין המערכות. 
 
מהם התנאים לשיווי משקל? 
 
$ E_1 + E_2 = E_{tot} $ 
 
$ N_1 + N_2 = N_{tot}$ 
 
נחפש את חלוקת \L{E} ו-\L{N} עם המספר הרב ביותר של מיקרו-מצבים = שיווי משקל תרמודינמי. 
 
\unsethebrew 
 
\begin{eqnarray*} 
g & = & \sum\limits_{E_1,N_1}g_1(N_1,E_1)g_2(N_{tot}-N_{1},E_{tot}-E_{1}) \approx \\ 
& = & g_1(\hat{N_1},\hat{E_1})g_2(\hat{N_{tot}}-\hat{N_1},E_{tot}-\hat{E_1}) \\ 
& & ~~~~~\textnormal{\R{האיבר הגדול ביותר בסכום:}} \\ 
dg & = & 0 =  
\left[\partDeriv{g_1}{N_1}{E_1}dN_1+\partDeriv{g_1}{E_1}{N_1}dE_1\right]g_2 \\ 
& + & g_1\left[\partDeriv{g_2}{N_2}{E_2}dN_2+\partDeriv{g_2}{E_2}{N_2}dE_2\right] \\ 
& & ~~~~~\textnormal{\R{נציב $dN_1+dN_2 = 0$, $dE_1+dE_2 = 0$, נחלק ב-$g_1,g_2$:}} \\ 
0 & = & \left[\dfrac{1}{g_1}\partDeriv{g_1}{N_1}{E_1}- 
\dfrac{1}{g_2}\partDeriv{g_2}{N_2}{E_2}\right]dN_1+ \\ 
& & \left[\dfrac{1}{g_1}\partDeriv{g_1}{E_1}{N_1}+ 
\dfrac{1}{g_2}\partDeriv{g_2}{E_2}{N_2}\right]dE_1 \\ 
& & \Downarrow \\ 
& & \left[\partDeriv{S_1}{N_1}{E_1}-\partDeriv{S_2}{N_2}{E_2}\right]dN_1 + \\ 
& & \left[\partDeriv{S_1}{E_1}{N_1}-\partDeriv{S_2}{E_2}{N_2}\right]dE_1 = 0 \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
הביטוי הימני שווה לאפס כאשר $ T_1 = T_2$. 
 
הגדרה: הפוטנציאל הכימי $ \mu$: 
 
\frame{$ \partDeriv{S}{N}{E} = -\dfrac{\mu}{T}$} 
 
\unsethebrew 
 
\begin{eqnarray*} 
\dfrac{\mu_1}{T_1} & = & \dfrac{\mu_2}{T_2} \\ 
T_1 & = & T_2 \textnormal{\R{אבל}} \\ 
& \Rightarrow & \mu_1 = \mu_2 \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
\subsubsection{מהו הפוטנציאל הכימי?} 
 
כאשר מנגבים את הלוח במטלית נקייה האבקה שנשארת ע"י הטושים מתנגבת ומלכלכת קצת את המגבת. 
אבל אם ננגב עם מטלית מלוכלכת מאוד, היא לא תתנגב לגמרי ואפילו אפשר שהלוח יתלכלך מהאבקה. 
זאת משום שהפוטנציאל הכימי של מגבת מלוכלכת קטן מזאת של מגבת נקייה וכך היא יכולה  
לקלוט פחות חומר. 
 
\section{כיוון מעבר הפוטנציאל הכימי} 
 
\unsethebrew 
\includegraphics[scale=0.75] 
{Images/two_thermodiffusive_connected_systems_with_particle_flow} 
\sethebrew 
 
נניח ש- $ \mu_1 > \mu_2$.  
 
נניח ש- $ \delta\mu$ עוברים ממערכת 1 למערכת 2. 
 
$ \delta N_1 = -\delta N ~~~~ \delta N_2 = \delta N$. 
 
האם $ S$ גדלה או קטנה בתהליך הוירטואלי הזה? 
 
\unsethebrew 
 
\begin{eqnarray*} 
\delta S & = & \delta\parens{S_1+S_2} \\ 
& & \partDeriv{S_1}{N_1}{E_1}\delta N_1 + \partDeriv{S_2}{N_2}{E_2}\delta N_2 \\ 
\delta S & = & \parens{\dfrac{\mu_1}{T}-\dfrac{\mu_2}{T}}\delta N > 0 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
כדי ש-$\delta S $ יהיה חיובי דרוש ש-$ \mu_1 > \mu_2$. מה שמתקיים על-פי ההנחה. 
 
חלקיקים עוברים ממערכת עם $ \mu$ גדול למערכת עם $ \mu$ קטן. 
 
\chapter{מערכות + אמבטים} 
 
נניח שיש לנו מערכת קטנה המוכלת בתוך מערכת גדולה הרבה יותר. נקרא למערכת הגדולה 
{\bf אמבט} )\L{Reservoir}(. 
 
נניח שהמערכת הקטנה נמצאת במגע תרמו-דיפוסיבי עם האמבט.  
 
שאלה: מה הסיכוי למצתוא את המערכת הקטנה במיקרו-מצב מסוים? 
 
למיקרו-מצב $l$ יש אנרגיה $\epsilon_l$ ו-$N$ חלקיקים. 
 
$P$: פרופורציוני למספר המיקרו-מצבים במערכת הכוללת כך שהמערכת הקטנה נמצאת במ"מ )= מיקרו-מצב( $l$. 
 
$ g(\textnormal{total system}) = g(\textnormal{\R{אמבט}}) $ 
 
$ \Downarrow$ 
 
מס' המיקרומצבים האפשריים של האמבט כך שיש לו אנרגיה $ E_0-\epsilon_l$ ו - $N_0-N$  
חלקיקים. 
 
\unsethebrew 
\newcommand{\eelkt}{e^{-\dfrac{\epsilon_l}{kT}}} 
\begin{eqnarray*} 
P_l\parens{N,\epsilon_l} & \propto & g_R\parens{N_0-N,E_0-\epsilon_l} \\ 
g_R\parens{N_0-N,E_0-\epsilon_l} &=& 
e^{\dfrac{S_R\parens{N_0-N,E_0-\epsilon_l}}{k}} \\ 
S_R\parens{N_0-N,E_0-\epsilon_l} &=& S_R\parens{N_0,E_0} - 
\partDeriv{S_R}{N_0}{E_0}N-\partDeriv{S_R}{E_0}{N_0}\epsilon_l + ... \\ 
& & \textnormal{\R{מציבים $N=N_0$, $E=E_0$}} \\ 
S_R &=& S_R(N_0,E_0) + \dfrac{\mu N}{T} - \dfrac{\epsilon_l}{T} \\ 
& &\textnormal{\R{$S_R$ קבוע ו-$T=T_R$ - הטמפרטורה של האמבט}} \\ 
P_l(N,\epsilon_l) & \propto & e^{S_R(N_0,E_0)}e^{\frac{\mu N}{kT}-\frac{\epsilon_l}{kT}} \\ 
P_l(N,\epsilon_l) & \propto & e^{\frac{\mu N}{kT}-\frac{\epsilon_l}{kT}} \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
\section{מקרה פרטי חשוב: מגע תרמי בלבד} 
 
$ P_l(\epsilon_l) \propto e^{-\frac{\epsilon_l}{kT}}$ 
 
\L{Boltzmann Factor} 
 
\section{צבר קנוני : \L{Canonical Ensemble}} 
 
מתאר מערכת קטנה במגע תרמי עם אמבט בטמפרטורה $T$. 
 
\frame 
{ 
  \R 
  { 
  הגדרה:  
  $ Z(t)=\sum \eelkt$ 
  } 
} 
 
 
פונקציית החלוקה )\L{Partition Function}( 
 
$ P_l(\epsilon_l) = \dfrac{1}{Z(t)}\eelkt$ 
 
$ \sum\limits_{l}P_l=1$ 
 
זהו הצבר הקאנוני - רשימת מיקרו-מצבים $l$ עם הסתברות $ P(l)=\dfrac{1}{Z}\eelkt$. 
 
ניתן לשאול מהי האנרגיה הממוצעת $U$ של המערכת הקטנה. 
 
\unsethebrew 
\newcommand{\embel}{e^{-\beta\epsilon_l}} 
\newcommand{\dZdB}{\dfrac{\partial Z}{\partial \beta}} 
\begin{eqnarray*} 
U &=& \sum\limits_l \epsilon_{l}P_{l} \\ 
\beta &=& \dfrac{1}{kT} \\ 
U &=& \sum\limits_l\epsilon_l\dfrac{1}{Z(t)}\embel \\ 
\dZdB &=& \sum\limits_l\epsilon_l\embel \\ 
-\dZdB &=& \sum\limits_l\epsilon_l\embel \\ 
-\dfrac{1}{Z}\cdot\dZdB &=& \dfrac{1}{Z}\sum\epsilon_l\embel \\ 
U&=&-\dfrac{\partial \ln Z}{\partial \beta} \\ 
U&=&kT^2\dfrac{\partial \ln Z}{\partial T} \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
דוגמא: מערכת דו-מצבית )\L{Two-Level System}( בטמפ' $T$: 
 
חלקיק אחד: שני מצבים $0$ ו-$\epsilon$. 
 
שאלה: מהי $U$ 
 
\unsethebrew 
 
\begin{eqnarray*} 
Z&=&\sum\limits_j e^{-\beta\epsilon_j} = e^{-\beta 0}+e^{-\beta \epsilon} = 1+e^{-b\epsilon} \\ 
U&=&\mean{\epsilon} = \epsilon p(t) = \epsilon\dfrac{e^{-\beta \epsilon}}{1+e^{-\beta\epsilon}} \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
דוגמא 2: 
 
$N$ חלקיקים דו-מצביים בטמפ' $T$. 
 
$ Z=\sum\limits_j e^-{\beta \epsilon_j} = \sum\limits_Eg(E)e^{-\beta E}$ 
 
כמה מיקרו-מצבים יש עם $E=M\epsilon$? 
 
תשובה: 
 
\unsethebrew 
\begin{eqnarray*} 
&\binom{N}{M}& \\ 
g(E = M\epsilon) &=& \binom{N}{M} \\ 
Z&=&\sum\limits_{M}\dfrac{N!}{M!(N-M)!}e^{-\beta M \epsilon} = \\ 
& = & (1+e^{-\beta\epsilon})^N \\ 
U & = & -\parens{\dfrac{\partial lnZ}{\partial \beta}} = N\epsilon\dfrac{e^{-\beta \epsilon}}{1+e^{-\beta\epsilon}} \\ 
\end{eqnarray*} 
 
\sethebrew 
 
\unsethebrew 
 
\begin{eqnarray*} 
\dfrac{\sqrt{\mean{\epsilon^2}-\mean{epsilon}^2}}{\mean{\epsilon_l}} &\propto& \dfrac{1}{\sqrt{N}} \\ 
\mean{x_l} = \sum\limits_{l}x_lP_l \ 
\end{eqnarray*} 
 
\sethebrew 
 
\subsection{חלקיק יחיד עם שתי רמות אנרגיה} 
 
\unsethebrew 
\newcommand{\oeBe}{1+e^{-\beta\epsilon}} 
\begin{eqnarray*} 
Z_1 &=& \oeBe \\ 
Z_n &=& \parens{\oeBe}^N = \parens{Z_1}^N \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
כמה מיקרו-מצבים יש עם: 
 
\unsethebrew 
 
\newcommand{\MoutofN}{\dfrac{N!}{M!(N-M)!}} 
\begin{eqnarray*} 
E&=&m\epsilon \Rightarrow N_{E=m\epsilon}= \MoutofN \\ 
Z_{N} & = & \sum\limits_l \parens{\MoutofN}e^{-\beta M\epsilon} \\ 
Z_N = \sum\limits_l \embel &=&  
\sum\limits_{\delta_1=0}^{\epsilon}\sum\limits_{\delta_2=0}^{\epsilon}... 
\sum\limits_{\delta_{N}=0}^{\epsilon}e^{-\beta\parens{\delta_1+\delta_2...+\delta_N}} = \\ 
= \prod\limits_{k=1}^{N} &=& \prod\parens{\oeBe} = \parens{\oeBe}^N \\ 
\end{eqnarray*} 
 
\sethebrew 
 
\section{גבולות} 
 
$ [kT]$ - אנרגיה 
 
חייבים להשוות $kT$ לסקאלת האנרגיה שבבעייה. 
 
\unsethebrew 
\begin{eqnarray*} 
U&=&N\epsilon\dfrac{e^{-\frac{\epsilon}{kT}}}{1+e^{-\frac{\epsilon}{kT}}} =  
N\epsilon\dfrac{\embel}{1+\embel} \\ 
T \rightarrow \infty &\Leftrightarrow& \beta \rightarrow 0~~~\dfrac{\epsilon}{kT} \rightarrow 0 \\ 
T \rightarrow 0 &\Leftrightarrow& \beta \rightarrow \infty~~~\dfrac{\epsilon}{kT} 
 \rightarrow \infty \\ 
\beta \rightarrow 0 &:& U \rightarrow \dfrac{N\epsilon}{2}\parens{1-\beta\epsilon}\parens{1+\beta\epsilon} \approx \dfrac{N\epsilon}{2}\parens{1-\dfrac{\beta\epsilon}{2}} \\ 
\beta \rightarrow \infty &:& U \rightarrow 0 \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
כאשר $ \beta \rightarrow 0$, אפשר לאכלס כל מצב בהסתברות זהה. 
 
$N$ ספינים בשדה מגנטי $B$ 
 
$ M = \mu_0\parens{N_{+}-N_{-}}$ 
 
$ E = -MB = -B\parens{N_{+}-N_{-}}\mu_0$ 
 
המע' נמצאת בטמפרטורה $T$. 
 
כמה מיקרו מצבים יש עם אנרגיה $E=BM$ 
 
\unsethebrew 
\begin{eqnarray*} 
g&=&\dfrac{N!}{N_{+}!N_{-}!} \\ 
Z &=& \sum\limits_{N_{+}=0}^{N}\dfrac{N!}{N_{+}!N_{-}!}e^{\beta B\mu_0\parens{N_{+}-N_{-}}} \\ 
& = & \parens{e^{\beta B \mu_0}+e^{-\beta B \mu_0}}^N = \parens{2\cosh\beta\mu_0B}^N \\ 
U &=& -\mean{M}B = -dfrac{\partial}{\partial\beta}\ln Z = -N\mu_0B\tanh\parens{\beta B\mu_0} \\ 
\mean{M} &=& N\mu_0\tanh\parens{\beta B\mu_0} \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
גבולות: 
 
\unsethebrew 
\begin{eqnarray*} 
T &\rightarrow& 0 ~~~~\textnormal{\R{ביחס ל-$\mu_0B$}} \\ 
\mean{M} &\rightarrow& \pm N\mu_0 ~~~\textnormal{\R{כיוון השדה $B$}} \\ 
\mean{M} &\rightarrow& N\dfrac{\beta\mu_0^2}{kT}~~~~T\rightarrow\infty 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
\section{לחץ} 
 
מכניקה סטטיסטית עם אנטרופיה קבועה היא מכניקה רגילה.  
 
אם נתונה לנו מערכת במיקרו-מצב $l$, אז נשנה את הנפח שלה מ-$V$ ל-$V+\Delta V$. נעשה זאת 
בלי לשנות את $S$, בצורה שהמערכת נשארת במיקרו-מצב $l$ )שינוי אדיאבטי(. 
 
האנרגיה של מיקרו-מצב משתנה מ-: 
 
$ \epsilon_l(V) \rightarrow \epsilon_l(V+\Delta V)$ 
 
$ \epsilon_l(V+\Delta V) = \epsilon_l(V)+\left.\dfrac{\partial \epsilon_l}{\partial V}\right|_{\Delta V}$ 
 
\unsethebrew 
 
\includegraphics[scale=0.75]{Images/force_volume_and_pressure} 
\sethebrew 
 
העבודה שנעשית על המערכת: 
 
\unsethebrew 
 
\begin{eqnarray*} 
\Delta W &=& -F \Delta x \\ 
\Delta W &=& \parens{\dfrac{-F}{A}}\parens{A\Delta X} = -P\Delta V \\ 
&& \textnormal{\R{ב-$S$ קבועה, העבודה שנעשית על המערכת שווה לשינוי האנרגיה במערכת.}} \\ 
\Delta W &=& \Delta \epsilon_l \\ 
&& \textnormal{\R{לכן:}} \\ 
P_l &=& -\partDeriv{\epsilon_l}{V}{N} \\ 
\epsilon_l\parens{V+\Delta V} &=& \epsilon_l(V)-P_l\Delta V \\ 
\mean{\epsilon_l\parens{V+\Delta v}} &=& \mean{\epsilon_l(V)}+\mean{P_l\Delta V} \\ 
U\mean{V+\Delta V} &=& U(V)-\mean{P_l}\Delta V = U(V)-P(\Delta V)\\ 
P&=&-\mean{\dfrac{\partial \epsilon_l}{\partial V}}_{S,N} =  
-\dfrac{\partial}{\partial V}\mean{\epsilon_l}=-\partDeriv{U}{V}{S,N} \\ 
P&=&-\partDeriv{U}{V}{S,N} \\ 
\end{eqnarray*} 
 
\frame{ 
$ \partDeriv{f}{x}{y} = -\dfrac{\partDeriv{f}{y}{x}}{\partDeriv{x}{y}{f}} $ ~~~~\R{משפט:} 
} 
 
\begin{eqnarray*} 
f &=& f(x,y) \\ 
df &=& \partDeriv{f}{x}{y}dx+\partDeriv{f}{y}{x}dy / \cdot \dfrac{1}{dy} \\ 
\dfrac{df}{dy}&=&\partDeriv{f}{x}{y}\dfrac{dx}{dy}+\partDeriv{f}{y}{x} \\ 
&& \textnormal{\R{עכשיו מניחים ש-$f$ קבוע}} \\ 
\partDeriv{S}{U}{V} &=& \dfrac{\partDeriv{S}{V}{U}}{\partDeriv{U}{V}{S}} \\ 
\partDeriv{S}{U}{V} &=& -\dfrac{1}{T} \\ 
\partDeriv{U}{V}{S} &=& -P \\ 
&\Downarrow& \\ 
\partDeriv{S}{V}{U} &=& \dfrac{P}{T} \\ 
\end{eqnarray*} 
 
\begin{eqnarray*} 
S &=& S(U,V,N) \\ 
dS &=& \partDeriv{S}{U}{N,V}dU+\partDeriv{S}{V}{N,U}dV+\partDeriv{S}{N}{U,V}dN \\ 
dS &=& \dfrac{1}{T}dU+\dfrac{P}{T}dv+-\dfrac{\mu}{T}dN 
\end{eqnarray*} 
 
\sethebrew 
 
\frame{$TdS = dU+PdV-\mu dN$} \\ 
$\Downarrow$ \\ 
הזהות התרמודינמית 
 
\section{האנרגיה החופשית של הלמהולץ} 
 
\underline{הגדרה:} 
 
האנרגיה החופשית של הלמהולץ: $ F=U-TS$ 
)\L{Helmholtz Free Energy}( 
 
$F$ משחק באותו תפקיד עבור $T$ קבוע ש-$S$ משחקת באנרגיה קבועה. $F$ שואפת למינימום. 
 
$F$ הוא נקודה קריטית כאשר $U,T,N$ קבועים. 
 
\unsethebrew 
\begin{eqnarray*} 
F&=&U-TS \\ 
dF&=&dU-TdS-SdT \\ 
&&\textnormal{\R{$T$ קבוע ולכן $dT$ שווה לאפס}} \\ 
dF&=&PdV-\mu dN \\ 
&&\textnormal{\R{כאשר $U,T,N$ קבועים}} dF=0\\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
\subsection{מדוע האנרגיה החופשית שואפת למינימום?} 
 
נניח שיש לנו מערכת הצמודה לאמבט חום ושניהם מבודדים. לאמבט טמפ' $T$ ואנרגיה $U_R$ 
 
$U_R+U=U_T$ 
 
\unsethebrew 
\begin{eqnarray*} 
S_T &=& S_R + S = S_+R(U_r)+S(U)~~~~\textnormal{\R{האנטרופיה הכוללת}} \\ 
\dfrac{U}{UT} &\ll& 1 \\ 
S_R(U_R) &=& S_R(U_T-U)=S_R(U_t)-\partDeriv{S_R}{U}{}U \\ 
S_T &=& S_R(U_T)+S(U)-\dfrac{U}{T} = S_R(U_T)+\dfrac{1}{T}(TS-U) = \\ 
&=& S_R(U_T) - \dfrac{F}{T} \\ 
S_T \rightarrow max &\Longrightarrow& F \rightarrow min \\ 
dF &=& dU - TdS-SdT \\ 
&&\textnormal{\R{יחד עם הזהות התרמודינמית}} \\ 
dF &=& -Sdt-PdV+\mu dN \\ 
-\partDeriv{F}{T}{N,v}&=&S \\ 
-\partDeriv{F}{V}{T,N}&=&P \\ 
-\partDeriv{F}{N}{V,T}&=&\mu \\ 
P &=& -\partDeriv{F}{V}{T,N} = -\dfrac{\partial}{\partial V}\parens{U-TS} = 
-\partDeriv{V}{U}{T,S} + T\partDeriv{S}{V}{T,N} 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
\subsection{קשר בין \L{F,Z}} 
 
\unsethebrew 
 
% An anonymous partial derivative 
\newcommand{\anonPD}[1]{\dfrac{\partial}{\partial #1}} 
\begin{eqnarray*} 
F= U-TS ; S=-\partDeriv{F}{T}{V,N}& \Longrightarrow& F = U-T\partDeriv{F}{T}{V,N} \\ 
U&=& T\partDeriv{F}{T}{V.N}TF = -T^2\dfrac{\partial}{\partial T}\parens{\dfrac{F}{T}} \\ 
U&=& kT^2\partDeriv{\ln Z}{T}{} \\ 
k\anonPD{T}\ln Z &=& -\anonPD{T}\parens{\dfrac{F}{T}} \\ 
F &=& -kT\ln Z + F_{0}T \\ 
&&\textnormal{\R{טענה: $F_0 = 0$ בגבול $T\rightarrow 0$}} \\ 
Z=\sum\limits_{E}g(E)e^{-\beta E} &\longrightarrow& g_0e^{-E_{0}/kT} \\ 
\ln Z &\rightarrow& -\ln g_0 -\dfrac{E_0}{kT} \\ 
kT\ln Z &=& kT\ln g_0 - E_0 \\ 
S \rightarrow k\ln g_0 ~~~~ & & \textnormal{\R{בגבול $T\rightarrow 0$}} \\ 
& & \textnormal{\R{נשווה את זה ל- $-\partDeriv{F}{T}{V,N}$}} \\ 
F &=& -kT\ln Z + F_0 T \\ 
-\partDeriv{F}{T}{V,N} &=& \anonPD{T}\parens{kT\ln Z} + F_{0} = \\ 
& = & \anonPD{T}\parens{kT\ln g_0-kT\dfrac{E_0}{kT}}+F_{0} = \\ 
& = & kT\ln g_0 + F_0 \\ 
& \Downarrow & \\ 
& & \frame{$F = -kT\ln Z$} \\ 
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 
 
\section{גז אידיאלי} 
 
\unsethebrew 
 
\newcommand{\sinOfVar}[1]{\sin\parens{\dfrac{n_{#1}\pi{#1}}{L}}} 
\newcommand{\hbarSqOverTwoM}{\dfrac{\hbar^2}{2m}} 
\newcommand{\piLSq}{\parens{\dfrac{\pi}{L}}^2} 
\newcommand{\nxnynz}{\parens{n_x^2+n_y^2+n_z^2}} 
\newcommand{\exprTwo}{\frac{1}{kT}\hbarSqOverTwoM\piLSq} 
\newcommand{\exprOne}{\exprTwo\nxnynz} 
 
\begin{eqnarray*} 
\Psi\parens{x,y,z} &=& A\sinOfVar{x}\sinOfVar{y}\sinOfVar{z} \\ 
\parens{n_x,n_y,n_z} &-& \textnormal{\R{מיקרו-מצב}} \\ 
\epsilon_n &=& \exprOne \\ 
Z &=& \sum\limits_{n_x}\sum\limits_{n_y}\sum\limits_{n_z}e^{-\frac{1}{kT}\epsilon_n=-\exprOne } \\ 
\end{eqnarray*} 
 
\sethebrew 
 
\subsection{\L{Euler MacLauren Summation Formula}} 
 
$ \sum\limits_{k=1}^{N-1}f_k = 
\int\limits_0^Nf(k)dk - \dfrac{1}{2}\left[f(0)+f(n)\right] +  
\dfrac{1}{n}\left[f'(N)-f'(0)\right] + ...$ 
 
\unsethebrew 

\newcommand{\rhoQBase}{\parens{\dfrac{mkT}{2\pi\hbar^2}}}
\begin{eqnarray*} 
f(x)&=&e^{-\exprTwo x^2} = \sum e^{-\exprTwo x^2} = \int_0^{\infty}e^{-\exprTwo x^2}dx = \\ 
\dfrac{1}{2}(H_0) &=& \sqrt{\dfrac{2\pi TL^2}{\pi^2\hbar^2}} + o(1) \\ 
Z_1 &=& L^3\parens{\dfrac{mkT}{2\pi\hbar^2}} \\
\end{eqnarray*} 
\sethebrew 

התיקון אינו משמעותי כאשר $ L^3\parens{\dfrac{mkT}{2\pi\hbar^2}}^{3/2} \gg 1 $ 

לכמות $ \parens{\dfrac{mkT}{2\pi\hbar^2}}^{3/2} $ יש יחידות של $ \dfrac{1}{\textnormal{\R{נפח}}} $.

\unsethebrew

\newcommand{\rorq}{\dfrac{\rho_Q}{\rho}}
\begin{eqnarray*}
\lambda_{\textnormal{de Broglie}} &=& \dfrac{\hbar}{m\mean{v}} = 
\dfrac{\hbar}{\sqrt{mkT}} \\
\rho_{Q} &=& \rhoQBase^{3/2} ~~~~\textnormal{\R{צפיפות קוואנטית}} \\
\rho &=& \dfrac{1}{L^3} ~~~~\textnormal{\R{צפיפות}} \\
Z_1 &=& \rorq + \textnormal{\R{תוספות}} \\
\end{eqnarray*}

\sethebrew

כאשר $ \rorq \gg 1 $ אפשר להזניח את התיקון ואז מספיק לרשום:

$ Z_1 = L^3\rhoQBase^{3/2} $ 

$ \rorq \ll 1 $ הגז הוא גז אידיאלי קלאסי.

$ \rorq \approx 1 $ אפקטים קוואנטיים חשובים.

$ Z_1 = L^3\rhoQBase^{3/2} = L^3\rhoQBase^{3/2} $

זהו גז אידיאלי קלאסי:

$ U = -\dfrac{\partial lnZ}{\partial \beta} = \frac{3}{2}kT $

נראה מפתה לרשום $ Z_N = (Z_1)^N $. זה לא נכון משום שהחלקיקים אינם 
מובחנים.

במקרה זה צריך: $ Z_N = \dfrac{1}{N!}(Z_1)^N $ משום שהחלקיקים אינם מובחנים.

\unsethebrew

\begin{eqnarray*}
Z_1 &=& \parens{\sum e^{-\exprTwo}}^3 \\
Z_1 &=& \parens{\dfrac{1}{n}\int e^{-\frac{1}{kT}\frac{p^2}{2m}}dpdx}^3 
~~~~ E = \dfrac{p^2}{2m} ~~~~ \textnormal{\R{בגבול הקלאסי:}} \\
\end{eqnarray*}

\sethebrew

מה קורה אם יש $N$ חלקיקים?~~~~~~$Z_N = ?$

חלקיקים מובחנים: $ Z_N = (Z_1)^N $ 

חלקיקים בלתי-מובחנים: $ Z_N = \dfrac{1}{N!}(Z_1)^N$

$ Z_N = \dfrac{1}{N!}Z_1^N = \dfrac{1}{N!}\left[L^3\rhoQBase^{3/2}\right]^N $

חישוב של אנרגיה לא רגיש לתוספת $ \dfrac{1}{N!} $ לביטוי.

\unsethebrew

\begin{eqnarray*}
F_U &=& -kT\ln Z_0 = 
-kT\left[\ln V + \dfrac{3}{2}N\ln\parens{\dfrac{2\pi mkT}{h^2}}\right] \\
~~~~ \textnormal{\R{ובנוסף ה-$-N\ln N+N$ שנובע מה-$N!$}} \\
S & = & \partDeriv{F}{T}{V,N} = k\left[N\ln V + 
    \dfrac{3N}{2}\ln\parens{\dfrac{2\pi mkT}{h^2}}-N\ln N+N\right]+???? \\
& = & Nk\left[\ln V + \frac{3}{2}\ln kT + \sigma - \ln N + 1 \right]
\end{eqnarray*}

\sethebrew

\unsethebrew

\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

\sethebrew

מצב התחלתי: גז בעל $V,N$ ואנטרופיה $S_1$. עכשיו לוקחים מחיצה ולאט לאט שמים אותה באמצע. האם האנטרופיה השתנתה?

\unsethebrew
\includegraphics[scale=0.35]{Images/partition_split_system}
\sethebrew

נניח עכשיו שיש מחיצה שמשני צידיה יש שני סוגי חלקיקים )מימן וחמצן(.

\unsethebrew
\includegraphics[scale=0.5]{Images/oxygen_hydrogen}
\sethebrew

מסירים את המחיצה. מייד אחר-כך החלקיקים מתערבבים.

אם עושים את החישוב של האנטרופיה מגלים ש- $ S_1 \neq S_2 $. עם התיקון של
$ N!$ מקבלים שזה בסדר.

\unsethebrew

\begin{eqnarray*}
F &=& -NkT\parens{\ln\parens{\dfrac{V}{N}}+\frac{3}{2}\ln(kT)+\frac{3}{2}\parens{\dfrac{2\pi m}{\hbar^2}}} \\
P &=& \partDeriv{F}{V}{N,T} = \dfrac{NkT}{V} \Rightarrow 
PV=NkT ~~~\textnormal{\R{משוואת מצב}} \\
&& \textnormal{\R{מוכר מכימיה כ-$PV=nRT$ }} \\
\dfrac{\mu}{kT} &=& \dfrac{1}{kt}\partDeriv{F}{N}{T,V} = -\ln\parens{\dfrac{V}{N}}-\frac{3}{2}\ln\parens{\dfrac{2\pi mkT}{\hbar^2}} \\
\lambda &=& e^{\beta \mu} = \parens{\dfrac{N}{V}}\parens{\dfrac{k^2}{2\pi mkT}}^{3/2} \longrightarrow \textnormal{\R{נקרא פוגסיות )\L{Fugacity}(}} \\
U &=& -\partDeriv{\ln Z}{\beta}{} = \frac{3}{2}NkT \\
\end{eqnarray*}

\sethebrew

\section{התפשטות אדיאבטית }

$\Delta S = 0 $


$ T_1 \rightarrow T_2 ~;~ V_1 \rightarrow V_2 $

1( האנטרופיה לא משתנה: $ S = Nk\left[\ln V + \frac{3}{2}\ln(kT)\right] + const $

$ S$ לא משתנה:

$ \ln V + \frac{3}{2}\ln kT = const $

$ (VT)^{\frac{3}{2}} = const $

2( טמפ': $ T_2 = \parens{\dfrac{V_1}{V_2}}^{2/3}T_1 $

אם $ V_1 > V_2$ יש פיזור.

3( לחץ: 
\unsethebrew

\newcommand{\VOneVTwo}{\parens{\dfrac{V_1}{V_2}}}
\begin{eqnarray*}
PV &=& NkT \\
PV &=& NkcV^{2/3} \\
PV^{5/3}&=&Nkc = const \\
P_2 &=& \VOneVTwo^{5/3}P_1 \\
\end{eqnarray*}

\sethebrew
אנרגיה:
\unsethebrew


\begin{eqnarray*}
U_1 &=& \dfrac{3}{2}NkT_1 \\
U_2 &=& \dfrac{3}{2}NkT_2 \\
U_2 &=& \VOneVTwo^{2/3}U_1 \\
U_2-U_1 &=& \dfrac{3}{2}P_1V_1\left[\VOneVTwo^{2/3}-1\right]
\end{eqnarray*}

\sethebrew
\underline{עבודה שנעשית ע"י הגז}
\unsethebrew

\begin{eqnarray*}
W&=& \int\limits_{V_1}^{V_2}PdV \\
PV^{5/3} &=& P_1V_1^{5/3} \\
P &=& P_1\parens{\dfrac{V_1}{V_2}}^{5/3} \\
W &=& P_1V_1^{5/3}\int\limits_{V_1}^{V_2}\dfrac{dV}{V^{5/3}} \\
W &=& -\dfrac{3}{2}P_1V_1\left[\parens{\dfrac{V_1}{V_2}}^{2/3}-1\right] \\
W &=& -\Delta U = -\parens{U_2-U_1} \\
\end{eqnarray*}

\sethebrew
\subsection{התפשטות איזו-תרמית )\L{Isothermal Expansion}(}

1( לחץ:
\unsethebrew

\begin{eqnarray*}
PV&=&NkT \Longrightarrow PV=\textnormal{const} \\
P_2 &= & \parens{\dfrac{V_1}{V_2}}P_1 \\
\end{eqnarray*}

\sethebrew
עבודה ע"י הגז: 

$ W = \int\limits_{V_1}^{V_2}PdV = \int\limits_{V_1}^{V_2}\dfrac{NkT}{V}dV =
NkT\ln\parens{\dfrac{V_2}{V_1}} $

אנרגיה: $ U = \dfrac{3}{2}NkT $

אין שינוי באנרגיה: $ \Delta U = 0 $ 

אנטרופיה:
\unsethebrew

\begin{eqnarray*}
S &=& Nk\ln V + const \\
S_2-S_1 &=& Nk\ln V_2 - Nk\ln V_1 = Nk \ln\parens{\dfrac{V_2}{V_1}}  \\
W &=& T\Delta S \\
\end{eqnarray*}

\sethebrew
{\Huge להשלים - הרצאה של \L{31.12.03}} 

\chapter{סוגי חלקיקים}

1. פרמיונים - לא יותר מאחד, על-פי עיקרון האיסור של פאולי, במיקרומצב 
קוואנטי )אלקטרונים( - או 0 פרמיונים או 1.

2. בוזונים - כמה שרוצים במיקרו-מצב קוואנטי. )אורביטל(

אורביטל - מיקרומצב קוואנטי של חלקיק אחד )כולל הספין(

עבור פרמיונים:

$ n_x,n_y,n_z,s_z (n_i = 1,2,3,4...., s_z = \pm \frac{1}{2} $

$ s_z $ - אם לחלקיק יש ספין )כמו אלקטרונים = היטל הספין על "ציר \L{Z}"

* ללא ספין - האורביטל הופך להיות אנרגיה.

- נסמן אורביטל ע"י $l$.

לפרמיונים ספין )שברי(: $ (n+\frac{1}{2}) \frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2}... $ 

לבוזונים ספין )שלם( : $ 0, 1, 2, 3, 4 $ 

מיקרו-מצב של מערכת של $N$ חלקיקים זה רשימת $n_l$ )לא $n_x,n_y,n_z$(
)= מספר החלקיקים באורביטל $l$(.

$ \sum\limits_l n_l = N $

אם האנרגיה הכוללת של המערכת היא $E$:

$ \sum\limits_l n_l\epsilon_l = E $

\begin{tabular}{rr}
\begin{tabular}{r}
\R{\underline{פרמיונים:} אלקטרונים} \\
\R{פרוטונים} \\
$ ^3He $
\end{tabular}
& 
\begin{tabular}{r}
\R{\underline{בוזונים}: פוטונים} \\
\R{פונונים} \\
$ ^4He $
\end{tabular}
\end{tabular}

\unsethebrew

\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

\sethebrew
\unsethebrew

\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

\sethebrew
\unsethebrew

\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

\sethebrew
\unsethebrew

\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

\sethebrew
\unsethebrew

\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

\sethebrew
\unsethebrew

\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

\sethebrew
\unsethebrew

\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

\sethebrew

\end{document} 
